Polígonos Ejercicios Resueltos
POLIGONOS
DEFINICIÓN:
- Dos segmentos con un punto común no deben ser colineales.
- Dos segmentos cualesquiera sólo pueden interceptarse en sus extremos.
En la figura, la parte punteada indica otros posibles puntos y segmentos puesto que n es un número natural cualesquiera igual o mayor que 3.
ELEMENTOS DEL POLÍGONO
- Un segmento que une dos vértices no consecutivos lo denominaremos diagonal del polígono.
- Un segmento que une los puntos medios de dos lados cualesquiera, lo llamaremos diagonal media del polígono.
OBSERVACIÓN:
En un polígono de n lados existen n vértices, n ángulos internos.
NOTA 1:
Todo polígono divide al plano en tres subconjuntos de puntos:
- Puntos interiores al polígono.
- Puntos exteriores al polígono.
- Puntos que pertenecen al polígono.
Un punto está en el interior de un polígono si está en el interior de cada uno de los ángulos internos del polígono, y está en el exterior, si no está ni en el interior ni en el polígono.
NOTA 2:
El perímetro del polígono es igual a la suma de todos sus lados.
NOTA 3:
Región poligonal es una figura formada por los puntos del polígono y los puntos interiores al polígono.
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Los polígonos se clasifican en:
a) Por el número de lados
Triángulo = 3 lados
Cuadrilátero = 4 lados
Pentágono = 5 lados
Hexágono = 6 lados
Heptágono = 7 lados
Octágono = 8 lados
Nonágono o Eneágono = 9 lados
Decágono = 10 lados
Endecágono o Undecagono = 11 lados
Dodecágono = 12 lados
Pentadecágono = 15 lados
Icoságono = 20 lados
Los polígonos restantes se llaman según su número de lados. Por ejemplo: polígono de 14 lados, polígono de 25 lados, etc.
b) Por su forma
1. Polígono Convexo:
Es interceptado en sólo dos puntos por una recta secante.
2. Polígono no Convexo:
Es interceptado en más de dos puntos por una recta secante.
3. Polígono Equilátero:
Es aquel polígono cuyos lados son todos congruentes. Ejemplo:
4. Polígono Equiángulo:
Es aquel polígono cuyos ángulos internos son todos congruentes.
5. Polígono Regular:
Es aquel polígono que es a la vez equiángulo y equilátero.
Ejemplo:
1. Polígono No Regular (Irregular)
Es aquel polígono que no cumple las condiciones del polígono regular.
FÓRMULAS GENERALES EN UN POLÍGONO DE N LADOS.
d: Números de diagonales que se pueden trazar desde un vértice.
D: Número total de diagonales que se pueden trazar.
Z: Número de diagonales que se pueden trazar desde “V” vértices consecutivos.
Si : Suma de las medidas de los ángulos internos
Se: Suma de las medidas de los ángulos externos
FORMULAS PARA POLÍGONOS REGULARES DE N LADOS
i : Medida de un ángulo interno
e: Medida de un ángulo externo
c : Medida de un ángulo central
N: número de lados
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es igual al número de vértices?
2. Calcular el número de diagonales de un polígono convexo, si la suma de sus ángulos interiores es igual a 4,5 veces la suma de sus ángulos exteriores.
3. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono, donde el número de lados sea igual al número de diagonales de un heptágono regular?
4. En un polígono convexo, cada ángulo interior es a su ángulo exterior como 7 es a 1. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
5. Un polígono regular tiene 4 lados menos que otro y la diferencia de las medidas de los ángulos centrales es 45°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
6. La diferencia de medidas de un ángulo interior y exterior de un polígono regular es 90°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
7. En un polígono desde el punto medio de uno de sus lados se trazan 99 diagonales medias. Calcule el número de diagonales de dicho polígono.
8. La suma de tres ángulos interiores consecutivos de un pentágono es 310°. ¿Qué ángulo forman las bisectrices de los otros dos ángulos?
9. El doble del perímetro de un polígono equivale numéricamente a la cantidad total de diagonales que se puede trazar. Si cada lado del polígono mide 1,75 cm, ¿cuántos lados tiene el polígono?
10. En un polígono regular MNPQRS ….., la m<MNQ = 90°. Calcule el número de diagonales.
11. En un polígono equiángulo ABCDE. .... en el cual AB // DE . Calcule el número de diagonales de dicho polígono.
12. En un octógono equiángulo, ABCDEFGH, AB = 5 2 y BC = 7. Calcular AC.
13. Al aumentar en tres el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de dichos polígonos.
14. Las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo están en progresión aritmética de razón 5°; siendo la medida del menor: 120°. Calcule el número de lados del polígono.
15. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos.
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