Matrices Ejercicios Resueltos

Matrices Ejercicios Resueltos

1. MATRIZ

Es un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas. Así una matriz tiene la siguiente forma general:

aij es el elemento ubicado en la fila i, columna j.

1.1. ORDEN DE LA MATRIZ

Si una matriz tiene “m” filas y “n” columnas entonces se dice que esta matriz es de dimensión u orden m x n (no se efectúa) Así la matriz A se puede denotar: 

Resolución: 

1.2. MATRIZ COLUMNA

Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir es de orden mx1.

1.3. MATRIZ FILA 

Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir es de orden 1 x n.

1.4. MATRIZ NULA 

Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero y se denota por θ.

1.5. MATRIZ CUADRADA

Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas y se denota:

Traza de una matriz cuadrada

Es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Así en el ejemplo anterior: 

Traz (A) = 3 + 2 + 1 = 6

1.6. MATRIZ IDENTIDAD

Es una matriz escalar, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y se denota por ln

1.7. RELACIONES ENTRE MATRICES

a) Igualdad de matrices: 

Dos matrices son iguales si y sólo si son del mismo orden y todos sus respectivos elementos son iguales: 

Así dadas las matrices:

b) Transpuesta de una matriz:

La transpuesta de una matriz A (de orden m x n) , es una matriz denotada por At (de orden n x m) que se obtiene cambiando las filas por las columnas en la matriz A.

Ejemplo:

c) Matrices Opuestas:

Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y además sus respectivos elementos son opuestos.

1.8. OPERACIONES CON MATRICES

a) Adición de matrices 

Luego la matriz suma de A y B es: 

A + B = (aij + bij) m x n 

Ejemplos: sean:

b) Multiplicación de matrices:

1) Multiplicación de un escalar por una matriz:

2) Multiplicación de una matriz fila por una, matriz columna. Sean las matrices:

Ejemplo: sean: 

3) Multiplicación de matrices: 

Sean las matrices: 

Obs. Sólo se puede hallar el producto A. B si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Ejemplo: Sean las matrices:

Entonces:

PROPIEDADES:

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dadas las matrices :

Solución:

2. Halla la matriz x, y dar como respuesta la suma de todos sus elementos:

Solución: 

3. Escribir explícitamente la matriz A. Si:

Solución: 

4. Sean las matrices, Hallar “AB” 

Solución:

5. Sean las matrices: 

Solución: 

6. Sean las matrices, Hallar (A + C); si: A = B 

Solución: 

7. Sea:

Solución:

8. Dado el polinomio, Halle la traza de P(A)

Solución:

9. Hallar la suma de los elementos de la matriz B donde:

Siendo:

Solución: 

10. Dado el sistema matricial:

Solución: