Determinantes y matriz inversa Ejercicios Resueltos
DETERMINANTES - MATRIZ INVERSA
DETERMINANTES
DEFINICIÓN:
Se llama determinante a un valor escalar que se le asocia a cada matriz cuadrada, y se denota por: |A| ó Det (A) para indicar el determinante de una matriz A.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2X2.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3X3.
En este curso, sólo emplearemos para el cálculo de estos determinantes la REGLA DE SARRUS, cuyo procedimiento es el siguiente:
Se repite las dos primeras filas (o las dos primeras columnas) a continuación de las existentes, después de lo cual:
Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal principal y las dos paralelas a ellas que tengan 3 elementos, obteniendo S1.
Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal secundaria y las dos paralelas a ellas que tengan 3 elementos, obteniendo S2.
Así: Si el determinante a calcular fuera:
Por la REGLA DE SARRUS horizontal, volvemos a escribir las dos primeras columnas en el lado derecho:
MENORES COMPLEMENTARIOS:
El menor complementario de un elemento ij a de la matriz “A” es el determinante de la matriz que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.
El menor complementario del elemento a32 a es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila 3 y la columna 2 de la matriz A y este será:
Regla práctica:
Para calcular el determinante de una matriz de orden 3 en forma práctica usando los menores complementarios, seguir el siguiente procedimiento:
a) Elija una fila o columna en forma conveniente aquella que presente la mayor cantidad de ceros.
b) El determinante se obtendrá sumando los productos de multiplicar cada elemento de la fila o columna escogida con su respectivo menor complementario antepuesto de un signo para anteponer los signos guiarse de:
Sea la matriz:
Ubicación de signos:
Usando la fila 1
PROPIEDADES:
Sea A una matriz cuadrada
2. Si todos los elementos de una fila o columna son iguales a cero, entonces |A| =0.
3. Si 2 filas o 2 columnas son proporcionales, entonces |A| =0.
4. Si se intercambian 2 filas o columnas entonces el determinante cambia de signo.
5. Si a una fila o columna se le suma o se le resta un múltiplo de otra, el determinante no se altera.
6. El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de todos los elementos de la diagonal principal.
7. Si todos los elementos de una fila o columna tienen un factor en común, dicho factor se puede extraer. Sean A y B matrices cuadradas de orden “n” entonces:
8. |AB| = |A| |B|
9. Si : A = KB -> |A| = K|B|
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el determinante de:
2. Hallar el determinante de:
3. Hallar el determinante de:
4. Hallar el determinante de R:
5. Hallar el determinante de:
6. Calcule:
7. Calcular:
8. Calcular:
9. Resolver la ecuación:
10. Calcular:
.png)
