Ángulos Ejercicios resueltos

Ángulos Ejercicios Resueltos

1. ÁNGULOS

Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto de origen o extremo. A estos dos rayos se les denomina lados del ángulo y su punto extremo común recibe el nombre de vértice.

1.1. ELEMENTOS

1.1.1. Vértice, es el punto donde se unen los dos lados. Se representa con letras mayúsculas, el vértice del AOB es (O).

1.1.2. Lados, son los dos rayos que forman el ángulo. Los rayos que forman el AOB son OA, OB

1.2. MEDIDA DE UN ÁNGULO

Postulado de la medida de un ángulo: A cada ángulo le corresponde como medida, un número real. La medida de un ángulo se expresa principalmente en grados sexagesimales y en radianes. Para la medición exacta de un ángulo se utiliza el transportador. Medida del ángulo AOB: m AOB.

1.3. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Se denomina bisectriz de un ángulo al rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y que perteneciendo a su interior determina dos ángulos de igual medida. Por eso decimos que este rayo biseca al ángulo.

OM: Bisectriz del AOB

1.4. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Se clasifican en:

a) Ángulo convexo: Es aquel ángulo que mide entre 0° y 180°.

0° < α < 180°

Se clasifican en:

- Ángulo Agudo: Es aquel que mide entre 0° y 90°.

- Ángulo Recto: Es aquel que mide 90°.

- Ángulo Obtuso: Es aquel que mide entre 90° y 180 °.

b) Ángulo No Convexo: Es aquel que mide entre 180° Y 360°.

c) Ángulo Nulo: Es aquel que mide 0°.

d) Ángulo Llano: Es aquel que mide 180°.

e) Ángulo de una vuelta: Es aquel que mide 360°.

1.4.2 DE ACUERDO A SU POSICIÓN.

Pueden ser:

a) Ángulos Opuestos por un Vértice: Son ángulos de igual medida, tales que los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro.

b) Ángulos Consecutivos: Tienen el mismo vértice y dos a dos un lado común.

c) Ángulos Adyacentes: Son los que tienen el vértice y un lado en común, pero no tienen puntos interiores comunes.

1.5 TEOREMAS FUNDAMENTALES

a) Podemos tener ángulos consecutivos alrededor de un punto; tales ángulos suman 360°.

b) También podemos tener ángulos consecutivos a un lado de una recta, los cuales suman 180°.

c) Dos ángulos consecutivos a un lado de una recta se llaman Par Lineal.

1.4.3 DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS.

Pueden ser:

a) Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 90°.Uno es el complemento del otro.

b) Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 180°. Uno es el suplemento del otro.

Suplemento de un Angulo x°: Cx

Sx = 180° - x

1.6. PROPIEDADES

Si “x°” es la medida de un ángulo, donde:

EL ALFABETO GRIEGO:

α = alfa ν = nu

β = beta ξ = xi

γ = gamma ο = omicrón

δ = delta π = pi

ε = epsilón ρ = rho

ζ = zeta ς = sigma

η = eta τ = tau

θ = theta υ = ipsilón

ι = iota φ = phi

κ = kappa χ = ji

λ = lambda ψ = psi

μ = mu ω = omega

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Calcula x.

2. En la figura OM es bisectriz del ángulo AOC. Calcula la medida del ángulo COD.

3. Si los x/y del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de “a” es igual a los m/n de la diferencia entre el complemento de β y el suplemento del suplemento de β. Hallar β.

Si los x/y del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de “a” es igual a los m/n de la diferencia entre el complemento de β y el suplemento del suplemento de β. Hallar β.

4. Dados los ángulos consecutivos: AOB, BOC y COD, tal que mAOC = 70°; mBOD = 80° y mAOB + mCOD = 50°, calcular la medida del ángulo BOC.

5. Un ángulo llano es dividido por 4 rayos de tal manera que se forman ángulos consecutivos cuyas medidas están en progresión aritmética. Calcular la medida del ángulo determinado por el primer y último rayo.

Un ángulo llano es dividido por 4 rayos de tal manera que se forman ángulos consecutivos cuyas medidas están en progresión aritmética. Calcular la medida del ángulo determinado por el primer y último rayo.

6. Se tienen dos ángulos complementarios, si a la medida de uno de ellos se le quita 30° para agregarlos al otro, resultan números iguales. Calcular la medida del menor.

Se tienen dos ángulos complementarios, si a la medida de uno de ellos se le quita 30° para agregarlos al otro, resultan números iguales. Calcular la medida del menor.

7. Hallar el suplemento de 30°60´.

8. Si a la medida de un ángulo se le aumentase el cuadrado de la medida de su complemento se obtendría 180°. Hallar la medida de dicho ángulo.

9. Si al suplemento de la medida de un ángulo le disminuimos 30° menos que el doble de la medida de su complemento es igual a 3/11 de la medida de su suplemento. Hallar la medida de dicho ángulo.

Si al suplemento de la medida de un ángulo le disminuimos 30° menos que el doble de la medida de su complemento es igual a 3/11 de la medida de su suplemento. Hallar la medida de dicho ángulo.

10. La suma del complemento y suplemento de un ángulo es igual al triple de la medida de dicho ángulo. Calcular el suplemento del ángulo cuya medida es el doble de la medida del primer ángulo.

11.El suplemento del complemento de un ángulo es igual al quíntuplo del complemento del mismo ángulo. Calcular el suplemento del ángulo que tiene por medida a la mitad de la medida del primer ángulo.

El suplemento del complemento de un ángulo es igual al quíntuplo del complemento del mismo ángulo. Calcular el suplemento del ángulo que tiene por medida a la mitad de la medida del primer ángulo.

12. Las medidas de dos ángulos suplementarios son proporcionales a 1 y 5. Calcular el suplemento del complemento del complemento del menor de los ángulos mencionados.